Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若函数在区间上恰有一个零点，求实数取值范围。

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ），或

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数在定义区间上的零点，根据导函数符号变化规律确定极值，（2）根据函数单调性确定函数图像，根据图像确定函数在区间上恰有一个零点的条件或，解不等式可得实数取值范围.

试题解析：（Ⅰ），

故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，

在区间上为增函数.

所以函数的极大值为；

函数的极小值为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，，

当时，。

要使函数在区间上恰有一个零点，则或，

得，或

点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.