Question

已知函数．

(Ⅰ) 当时，求函数图象在点处的切线方程；

(Ⅱ) 若存在，使不等式对于恒成立，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程，（2）先由存在，不等式成立，得，即对于恒成立．再变量分离为 ，利用导数可得函数在单调递增，即得.

试题解析：(Ⅰ) 当时，，

，则，则切线斜率为.

又，切线方程为，即.

故函数图象在点处的切线方程为.

(Ⅱ) 不等式，即，

因为，故存在，使不等式对于恒成立，

即对于恒成立．

即对于恒成立．

设，

则．

当时，有，则函数在区间上为增函数，

则有，得，

因为，得，

即，故．

当时，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，

则有，得，故．

当时，函数在区间上为减函数，

则，得，则，

综合有．

(Ⅱ)另【解析】
不等式，即，

因为，故存在，使不等式对于恒成立，

即对于恒成立．

即对于恒成立．

即对于恒成立．

设，则，

当时，有，则在区间上为增函数，

故．

从而有对于恒成立．

设，

则

因为，则且，故．

则在区间上为增函数，

故在区间上的最大值为，

从而有．