Question

已知平面内一动点与两定点和连线的斜率之积等于.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线： （）与轨迹交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）（）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）设点的坐标列式，即可求椭圆E的方程；

（2）首先设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=x+m代入椭圆方程根据韦达定理与判别式求出x1+x2、x1x2和m2的范围，进而求出|AB|，设AB中点，求出和的坐标即可得到到的距离，可得，可求出三角形面积的最大值.

试题解析：（Ⅰ）设的坐标为，

依题意得，

化简得轨迹的方程为（）.

（Ⅱ）设， ，

联立方程组化简得： ,

有两个不同的交点，

由根与系数的关系得， ，

，即且.

设、中点为， 点横坐标， ，

，

线段的垂直平分线方程为.

点坐标为.

到的距离，

由弦长公式得 ，

，

当且仅当即 时等号成立，

.

点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．