选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点
为极点， 
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设曲线
： 
（
为参数）；直线
： 
.
（Ⅰ）写出曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线
上的点到直线
的最小距离.
设函数
， 
（
）.
（Ⅰ）求函数
的单调增区间；
（Ⅱ）当
时，记
，是否存在整数
，使得关于
的不等式
有解？若存在，请求出
的最小值；若不存在，请说明理由.
已知平面内一动点
与两定点
和
连线的斜率之积等于
.
（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）设直线
： 
（
）与轨迹
交于
、
两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，当
变化时，求
面积的最大值.
如图，已知三棱锥
中， 
， 
， 
为
的中点， 
为
的中点，且
为正三角形.
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）请作出点
在平面
上的射影
，并说明理由.若
， 
，求三棱锥
的体积.
某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组
，第二组
，…，第五组
，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为
.
（Ⅰ）求
的值，并求这50名同学心率的平均值；
（Ⅱ）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式： 
，其中
| 心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合计 |
体育生 |
|
| 20 |
艺术生 |
|
| 30 |
合计 |
|
| 50 |
设数列
的前
项和
，数列
满足
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
.
