Question

设函数， ，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（  ）

A.     B.     C.     D.

Answer

C

【解析】本题考査导数的应用和三次函数的值域.

记在上的值域为， 在上的值域为.

∵对， ，使得，∴，

∵，∴，

令得: 或,令得,易得,

∴，

∵，∴，

当时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

∴的最小值为或， 的最大值为或，

∵，且，∴或，∴或，即或，又∵，∴ ；

当时， 在上单调递增，在上单调递减，∴的最小值为或， 的最大值为，∵,且，∴，即.

综上可知， 或.故选C.

点睛：函数中的方程有解问题：

（1）若为一元方程，通常有两个方法：要么画函数的图象，研究图象与轴的交点即可；要么将方程整理成两个函数相等，画两个函数的图象求解即可；

（2）若为二元方程，通常是转成研究方程左右两边的函数的值域的包含关系即可.