Question

如图，四棱锥中，平面底面， ， .

（1）证明: ；

（2）若， 与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）分析条件易得平面, ∵平面, ∴；

（2）作于点，则底面, ,以为坐标原点， 的方向分别为轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，用向量求解即可.

试题解析：

（1）如图，连接交于点.∵,即为等腰三角形，又平分，故,∵平面底面， 平面底面，∴平面, ∵平面,

∴.

（2）作于点，则底面, ,以为坐标原点， 的方向分别为轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系. ，而,得,

又，故.

设，则由，得，而，

由，得，则,

所以.

设平面的法向量为，平面的法向量为，

由得可取，

由得可取，

从而法向量的夹角的余弦值为.

由图可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.