Question

已知函数且.

（1）当时，求函数的单调区间与极值；

（2）当时， 恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）当时，函数取极大值，无极小值；（2）.

【解析】试题分析：（1）将代入，求出函数的导函数，判断函数在区间上的单调性，进而研究极值；

（2）令，即当时， 恒成立.求导研究最值和0比即可.

试题解析：

（1）当时，函数，

，

当时, ，当时， .

所以函数的单调增区间为,单调减区间为，

当时，函数取极大值，无极小值.

（2）令，根据题意，当时， 恒成立.

.

①当， 时， 恒成立，

所以在上是增函数，且，所以不符合题意；

②当， 时， 恒成立，

所以在上是增函数，且，所以不符合题意；

③当时， ,恒有,故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，

即,解得，故.

综上， 的取值范围是.

点睛：不等式的存恒成立问题，常用的方法有两个：

一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；

二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.