在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数, ),在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.
(1)求曲线的普通方程,并将的方程化为极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程为,若曲线与的公共点都在上,求的值.
已知函数且.
(1)当时,求函数的单调区间与极值;
(2)当时, 恒成立,求的取值范围.
已知抛物线的焦点为,准线为,抛物线上一点的横坐标为1,且到焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程;
(2)设是抛物线上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且为定值时,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
如图,四棱锥中,平面底面, , .
(1)证明: ;
(2)若, 与所成角的余弦值为,求二面角的余弦值.
我们国家正处于老龄化阶段,“老有所依”也是政府的民生工程.为了了解老人们的健康状况,政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估,健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行统计,样本分布被制作成如图表.
(1)若采用分层抽样的方法,再从样本中不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况,则两个群体中各应抽取多少人?
(2)据统计该市大约有的户籍老人无固定收入,且在各健康状况人群中所占比例相同,政府计划每月为这部分老人发放生活补贴,标准如下:
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元;
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元;
③不能自理的老人每人每月额外再发放生活补贴100元.
若用频率估计概率,设任意户籍老人每月享受的生活补贴为元,求的分布列和数学期望.
如图,在中, ,且, .
(1)求的面积;
(2)已知在线段上,且,求的值.