已知函数
的最大值为
.
（1）求
的值；
（2）若
, 
，求
的最大值.
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数， 
),在以坐标原点为极点， 
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
.
（1）求曲线
的普通方程，并将
的方程化为极坐标方程；
（2）直线
的极坐标方程为
，若曲线
与
的公共点都在
上，求
的值.
已知函数
且
.
（1）当
时，求函数
的单调区间与极值；
（2）当
时， 
恒成立，求
的取值范围.
已知抛物线
的焦点为
，准线为
，抛物线上一点
的横坐标为1，且到焦点
的距离为2.
（1）求抛物线
的方程；
（2）设
是抛物线上异于原点
的两个不同点，直线
和
的倾斜角分别为
和
，当
变化且
为定值
时，证明直线
恒过定点，并求出该定点的坐标.
如图，四棱锥
中，平面
底面
， 
， 
.
（1）证明: 
；
（2）若
， 
与
所成角的余弦值为
，求二面角
的余弦值.
我们国家正处于老龄化阶段，“老有所依”也是政府的民生工程.为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表.
（1）若采用分层抽样的方法，再从样本中不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（2）据统计该市大约有
的户籍老人无固定收入,且在各健康状况人群中所占比例相同，政府计划每月为这部分老人发放生活补贴，标准如下：
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；
③不能自理的老人每人每月额外再发放生活补贴100元.
若用频率估计概率，设任意户籍老人每月享受的生活补贴为
元，求
的分布列和数学期望.
