Question

已知函数，其中．

（1）求证：函数在区间上是单调函数；

（2）求函数的极小值。

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）对函数求导，利用函数大于0求增区间，小于0求减区间；

（2）求导，令导函数等于0，在定义域内讨论单调性即可.

试题解析：

（1）证明： ．

因为且，所以．

所以函数在区间上是增函数．

（2）【解析】
由题意，

则.

令，得 , .

当时， , 则函数在区间上是单调递增函数；

当时， , 则函数在区间上是单调递减函数；

当时， , 则函数在区间上是单调递增函数；

所以，函数的极小值点为，

故函数的极小值是.

点睛：由函数的的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”轴即可.