Question

用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

Answer

【解析】
设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

.

故长方体的体积为

从而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

【解析】试题分析：设长方体的长和宽分别为，则高为，所以长方体的体积为， ，令得（舍去）或，当时， ， 单调递增，当时， ， 单调递减，所以当时，函数取得最大值，此时长方体的长宽高分别为.

考点：导数在实际问题中的应用.

【方法点晴】本题主要考查了导数在实际问题中的应用，属于中档题.数学应用问题解答的关键是读懂题意，设出变量（一般是怎么问，就怎么设）建立函数关系，利用数学知识来解答.本题中通过设出长和宽，根据所有棱长和为表示出高，得到体积的一元三次函数关系，利用导数研究出其在定义域内的单调性，找出最值点.