Question

已知，

（1）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围；

（2）若当时，对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：(1)求导，利用导数对t的范围进行分类讨论求最值.
(2)本小题实质是在上恒成立，进一步转化为在上恒成立,然后构造函数利用导数研究h(x)的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根.

试题解析：

（1）定义域为， ，

因为在上为单调函数，则方程在上无实根.

故，则.

（2），则，对一切恒成立.

设，则，

当单调递减，

当单调递增.

在上，有唯一极小值，即为最小值.

所以，因为对任意恒成成立，

故.

点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.

(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.