Question

已知函数且在处的切线的斜率为.

（1）求的值，并讨论在上的单调性；

（2）设若对任意,总存在使得成立，求的取值范围.

Answer

（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）.

【解析】试题分析：（1）运用“函数在某点的切线斜率，就是该点的导数值”，确定直线的斜率。通过研究导数值的正负情况，明确函数的单调区间。

（2）不等式恒成立问题，一般的要转化成求函数的最值问题。

试题解析：

(1）函数且在处的切线的斜率为，

解得： ;

此时， ，当时， ，当时，

， 函数在上单调递减，在上单调递增.

(2）当时， 单调递增，

则只需在上恒成立即可，

①当时， 在上恒成立，即在上单调递增，又

在上恒成立，故时成立.

②当时，若，则此时单调递减，

故当时不成立.

综上