Question

如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，E为对角线BD的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若∠PEC=120°，则三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为（　　）

A. 28π    B. 32π    C. 16π    D. 12π

Answer

A

【解析】过球心O作OO′⊥平面BCD，则O′为等边三角形BCD的中心，∵四边形ABCD是菱形，A=60°，∴△BCD是等边三角形，∵∠PEC=120°，∴∠OEC=60°；∵AB=2，

∴CE=3，∴EO′=1，CO′=2，∴OO′=，∴球的半径OC=．

∴三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为4π•7=28π，故选：A．

点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.