Question

定义在R上的函数f（x）满足,f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式的解集为（　　）

A. （﹣∞，0）    B. （﹣∞，e+2）    C. （﹣∞，0）∪（e+2，+∞）    D. （0，+∞）

Answer

A

【解析】设g（x）=exf（x）﹣ex+1﹣2（x∈R），

则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex+1=ex[f（x）+f′（x）﹣e]，

∵f（x）+f′（x）＜e，∴f（x）+f′（x）﹣e＜0，

∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，

∵f（0）=e+2，∴g（0）=e0f（0）﹣e﹣2=e+2﹣e﹣2＞0，∴g（x）＞g（0），∴x＜0，

∴不等式的解集为（﹣∞，0）故选：A．

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.