Question

不等式e^x≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为_______

Answer

e

【解析】不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为

f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，由f（x）的导数为f′（x）=ex﹣k，

当k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）递增，无最大值；

当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）递减．

即有x=lnk处取得最小值，且为k﹣klnk，

由k﹣klnk≥0，解得k≤e，即k的最大值为e，故答案为：e．

点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.

(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.