Question

S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=2a_n﹣2（n∈N⁺）

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）若b_n=3na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

(1) an=2n;(2) Tn=6+3（n﹣1）2n+1.

【解析】试题分析：（1）根据数列{an}的求和公式，利用an=Sn-Sn﹣1得到an=2an﹣1，进而得到{an}的通项公式；

（2）利用错位相减的原理，即可得到结果。

试题解析：

（1）依题意，Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2（n≥2），

两式相减得：an=2an﹣1，又∵S1=2a1﹣2，即a1=2，

∴数列{an}是首项、公比均为2的等比数列，∴an=2n；

（2）由（Ⅰ）得bn=3n×2n，

∴Tn=3×2+6×22+9×23+…+3n×2n，

2Tn=3×22+6×23+…+3（n﹣1）×2n+3n×2n+1，

两式相减得：﹣Tn=3（2+22+23+…+2n）﹣3n×2n+1=3•﹣3n×2n+1

=﹣3（n﹣1）2n+1﹣6，∴Tn=6+3（n﹣1）2n+1．

点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.