Question

已知椭圆C： （a＞b＞0）的焦距为，且椭圆C过点A（1， ），

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若O是坐标原点，不经过原点的直线L：y=kx+m与椭圆交于两不同点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且y₁y₂=k²x₁x₂，求直线L的斜率k；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△OPQ面积的最大值．

Answer

（I）；（Ⅱ）斜率为或﹣；（Ⅲ）1.

【解析】试题分析：(1)由椭圆的焦距为,且椭圆C过点A（1， ）,列出方程求出a,b,由此能求出椭圆C的方程．

(2)由,得: （1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出直线l的斜率．

(3)把直线方程与椭圆方程联立,得: x2+2mx+2m2﹣2=0，,由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能求出△OPQ 面积的最大值.

试题解析：

（Ⅰ）∵椭圆C： 的焦距为，且椭圆C过点，

∴由题意得，可设椭圆方程为，

则，得，

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）由消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，

△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，

，

故.

又∵，∴，∴．

∵m≠0，∴，解得，

∴直线L的斜率为或﹣．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知直线L的方程为

由对称性，不妨把直线方程与椭圆方程联立，消去y得：2x2+4mx+4m2﹣4=0，△=64m2﹣4（4m2﹣4）＞0，∵P（x1，y1），Q（x2，y2），∴x1+x2=﹣2m， ，

设d为点O到直线l的距离，则，

当且仅当m2=1时，等号成立．∴△OPQ面积的最大值为1．

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．