Question

已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）函数的单调增区间为和，单调减区间为；

（2）当时，使恒成立．

【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识；（2）借助题设运用导数的知识求解探求.

试题解析：

（1）函数的定义域为，

，

当时，

由，得，或，

由，得，

故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，

当时， 恒成立，

故函数的单调递增区间为.

（2）恒成立等价于恒成立，

令，

当时，即当时， ，

故在内不能恒成立，

当时，即当时，则，

故在内不能恒成立，

当时，即当时，

，

由解得，

当时， ；

当时， .

所以，

解得.

综上，当时， 在内恒成立，即恒成立，

所以实数的取值范围是.

考点：导数与不等式的有关知识等有关知识的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数单调区间问题,求解时借助题设中的直接对函数求导,分类求出了函数的单调区间；第二问运用则借助不等式恒成立构造函数进行分析推证,最后求得参数的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解.本题具有一定的难度和区分度,是一道难得的好题.