Question

（1）已知一个圆过直线与圆的两个交点，且面积最小，求此圆的方程；

（2）抛物线的顶点在原点，以椭圆的右焦点为焦点，过点的直线与抛物线有且仅有一个公共点，求直线的方程.

Answer

（1）;（2）， 或.

【解析】试题分析: （1）联立两圆方程求得两交点， ，可得圆心和半径，进而得圆的方程.

（2）由题易得抛物线的方程为.设直线方程与抛物线方程联立，解可得.

试题解析：（1）联立，得，

所以，两交点， ，易知以线段为直径的圆面积最小，圆心为，

半径为，

于是，所求圆的方程为.

（2）依题意，设抛物线的方程为，

∵椭圆的右焦点为，∴，

∴抛物线的方程为.

①当直线的斜率不存在时，直线为轴与抛物线相切，符合题意.

②当直线的斜率为0时，直线为与抛物线的对称轴平行，符合题意.

③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，

将代入，得，

由，得，

∴直线方程为，

综上所述，直线的方程为， 或.