Question

如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形， 为底边的中点， 为侧棱上的点，且满足平面.

（1）求证： 平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析: (1)因为三棱柱各侧面都是正方形,所以， ，∴平面，∵平面，∴，可证平面，,再利用直线与平面垂直的判定定理进行证明;
(2) 取中点，连接， ,易知侧面底面,是与平面所成角.,然后构造直角三角形,在直角三角形中求其正弦值,从而求解.

试题解析：（1）设和的交点为，连接， ，

∵为的中点， 为的中点，

∴又，∴即，

∵平面，又平面平面，

∴，∴为的中点，

∵三棱柱各侧面都是正方形，所以， ，

∴平面，

∵平面，∴，

由已知得，∴，

∴平面，

∴平面，

∴，

∵侧面是正方形，∴，

又， 平面， 平面，∴平面.

（2）取中点，连接， ，

在三棱柱中，∵平面，

∴侧面底面，

∵底面是正三角形，且是中点，∴，所以侧面，

∴是在平面上的射影.

∴是与平面所成角.

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