Question

已知圆，直线与圆相切，且交椭圆于， 两点， 是椭圆的半焦距， .

（1）求的值；

（2）为坐标原点，若，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为， ，动点，直线， 与直线分别交于， 两点，求线段的长度的最小值.

Answer

（1）;（2）;（3）.

【解析】试题分析: (1)利用直线与圆相切,根据点到直线的距离公式,可求的值;
(2)直线代入椭圆,根据,利用韦达定理,可求椭圆的方程;
(3)设直线AS的方程为,从而,由,得，,求出的坐标,进而可求的坐标,即可求出线段的长度的最小值.

试题解析：（1）直线与圆相切，所以， .

（2）将代入得，

得： ，

设， ，则

， ，

，因为，

即，

由已知， 代入， ，

所以椭圆的方程为.

（3）显然直线的斜率存在，设为且则，

依题意，由得： ，

设，则， 即

，又，所以，

.

由，

∵.

所以时， .

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．