Question

设函数.

（1）若是函数的极值点，1为函数的一个零点，求函数在上的最小值.

（2）当时，函数与轴在内有两个不同的交点，求的取值范围.（其中是自然对数的底数）

Answer

（1）;（2）.

【解析】试题分析: （1）由题，且，列式解得， ，再求导求函数的最小值即可.

（2）由，得，易知， ； 时， ；于是，函数在单调递减，在单调递增，分和两种情况讨论可得的取值范围是.

试题解析：（1），∵是函数的极值点，

∴，

∵1是函数的零点，得，

由，解得， ，

∴， ，

令， ，得；

令得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的最小值为.

（2）当时， ，则，

由得，该方程的判别式，

因为，所以由，得，易知， ；

时， ；于是，函数在单调递减，在单调递增，

若，则在上单调递减，不符合题意，所以，

当时， ，又由函数与轴在内有两个不同的交点，

所以，且，

，解得，

因为，

所以，

令，知函数在上单调递减，又，

所以，即，解得，

综上所述，实数的取值范围是.

点晴：本题考查函数导数与单调性，函数零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.