Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面， ， ， ， 为中点．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

（I）详见解析；（II）；（III）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意证得，然后由线面平行的判断定理可得平面.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量可得二面角的余弦值为.

(3)探索性问题，利用空间向量的结论可得在棱上存在点，使得，

此时．

试题解析：

（Ⅰ）证明：设与的交点为，连接.

因为为矩形，所以为的中点，

在中，由已知为中点，

所以，

又平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）【解析】
取中点，连接.

因为是等腰三角形， 为的中点，

所以，

又因为平面平面，

因为平面， ，

所以平面．

取中点，连接，

由题设知四边形为矩形，

所以，

所以．

如图建立空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ， .， .

设平面的法向量为，则即

令，则， ，所以.

平面的法向量为，

设， 的夹角为，所以.

由图可知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得．

因此点， ， ．

由，即．

因为，所以在棱上存在点，使得，

此时．