Question

已知函数．　

（Ⅰ）若，证明：函数是上的减函数；

（Ⅱ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；

（Ⅲ）若，证明： （其中…是自然对数的底数）．

Answer

（I）详见解析；（II）；（III）详见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意二次求导可得，函数是上的减函数.

(2)利用题意由导函数研究函数的切线得到关于a的方程，解方程可得.

(3)原不等式等价于，结合(1)的结论构造函数，令，可证得．

试题解析：

（Ⅰ）当时，函数的定义域是，所以，

令，只需证： 时， ．

又，

故在上为减函数，

所以，

所以，函数是上的减函数．

（Ⅱ）由题意知， ，且，

所以，即有，

令， ，

则，

故是上的增函数，又，因此是的唯一零点，

即方程有唯一实根，所以．

（Ⅲ）因为 ，

故原不等式等价于，

由（Ⅰ）知，当时， 是上的减函数，

故要证原不等式成立，只需证明：当时， ，

令，则， 在上的增函数，

所以，即，故，

即．