Question

如图， 中， 是的中点， ， ．将沿

折起，使点与图中点重合．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）点，

即，

又∵；

（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，且为线段的中点

证明如下:设，

又平面的法向量，依题意得

解得舍去）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证，需证明垂直平面内两条直线，

在三角形ABC中，因为， 是的中点，所以；

又因为在折叠的过程中，保持不变，即，，

所以结论成立；

（Ⅱ）在平面内，作于点，则由（1）及已知可得当与重合时，三棱锥的体积最大，并过点作于点，连，则为

在中，易得的值，即为所求；

（Ⅲ）根据图形及已知条件分析可得，存在线段上中点，使与平面所成的角的正弦值为，求出平面的法向量，根据与平面所成的角的正弦值为建立等式关系，即可求得结论.

试题解析：（Ⅰ） 点，

即，

又∵；

（Ⅱ）在平面内，作于点，则由（Ⅰ）可知

又， ，即是三棱锥的高，

又，所以当与重合时，三棱锥的体积最大，

过点作于点，连，由（Ⅰ）知

，

为

，

（Ⅲ）存在，且为线段的中点

证明如下：设，

又平面的法向量，依题意得

解得舍去）.

考点：线面垂直；二面角的求法；空间向量在立体几何中的应用.