Question

如图，四棱锥中， 底面，底面是直角梯形， ， ， ， ，点在上，且．

（Ⅰ）已知点在上，且，求证：平面平面；

（Ⅱ）当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）现根据已知，结合平面几何知识证明，进而可证四边形是平行四边形，则，从而，利用底面，结合线面垂直、面面垂直的判定定理可得结果；（Ⅱ）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，∵是平面的一个法向量，

再求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）∵， ，∴，

∵底面是直角梯形， ， ，

∴，即，

∴，

∵， ，∴，

∴四边形是平行四边形，则，

∴，

∵底面，∴，

∵，

∴平面，∵平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）【解析】
∵， ，∴平面，则为直线与平面所成的角，

若与平面所成夹角为，则，即，

取的中点为，连接，则，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ， ， ，

∴， ，

设平面的法向量，则即

令，则， ，∴，

∵是平面的一个法向量，

∴，

即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为．