Question

设函数是奇函数的导函数， ,当时， ,则使得成立的取值范围是__________．

Answer

【解析】设,则g(x)的导数为： ，

∵当x>0时,xf′(x)−f(x)>0，

即当x>0时,g′(x)恒大于0，

∴当x>0时,函数g(x)为增函数，

∵f(x)为奇函数

∴函数g(x)为定义域上的偶函数

又∵ =0，∵f(x)>0，

∴当x>0时, ,当x<0时, ，

∴当x>0时,g(x)>0=g(1),当x<0时,g(x)<0=g(−1)，

∴x>1或−10成立的x的取值范围是(−1,0)∪(1,+∞)，

故答案为：(−1,0)∪(1,+∞)。

点睛：构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标。