Question

已知函数.

（1）若时，求证：当时， ；

（2）若存在，使，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）时， ，设，由于可知在递增，又，∴时

在递增， 时， ，即

时， ，由此即可证明结果；（2）若存在，使，即，即存在，使.设（），则设根据单调性可证，所以在恒成立， 在恒成立，所以在递增， 时， ，由此即可求出结果.

试题解析：

（1）时，

设

在递增，又，∴时

在递增， 时， ，即

时， ，即

（2）若存在，使，即

即存在，使.

设（），则

设， 在递增

时， ，所以在恒成立，

在恒成立，所以在递增

时，

需.

点睛：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立； 恒成立，即可求出参数范围.