选修4-5:不等式选讲
已知, .
(Ⅰ)若, 满足, ,求证: ;
(Ⅱ)求证: .
选修4-4:坐标系与参数方程
已知极点为直角坐标系的原点,极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线, (为参数).
(Ⅰ)求曲线上的点到电线距离的最小值;
(Ⅱ)若把上各点的横坐标都扩大原来为原来的2倍,纵坐标扩大原来的倍,得到曲线.设,曲线与交于, 两点,求.
已知函数.
(Ⅰ)若,求证:当时, ;
(Ⅱ)若存在,使,求实数的取值范围.
请从下面所给的22、23题中任选一题作答,如果多做,则按做的第一题计分.
椭圆()的左、右焦点分别为, ,过椭圆中心的弦满足, ,且的面积为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线不经过点,且与椭圆交于两点,若以为直径的圆经过点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
如图,在棱台中, 与分别是棱长为1与2的正三角形,平面平面,四边形为直角梯形, , , 为中点, (, ).
(1)设中点为, ,求证: 平面;
(2)若到平面的距离为,求直线与平面所成角的正弦值.
我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨),一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超过的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照, , , 分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中的值;
(Ⅱ)若将频率视为概率,从该城市居民中随机抽取3人,记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为,求的分布列与数学期望.
(Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值(精确到0.01),并说明理由.