Question

已知圆，过点作直线交圆于两点，分别过两点作圆的切线，当两条切线相交于点时，则点的轨迹方程为__________．

Answer

【解析】考虑如下问题：已知C:x2+y2=r2(r>0)和点P(a,b).若点P在C内，过P作直线l交C于A. B两点，分别过A. B两点作C的切线，当两条切线相交于点Q时，求点Q的轨迹方程.

圆C:x2+y2=r2的圆心C为(0,0)，

设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0)，

因为AQ与圆C相切，所以AQ⊥CA.

所以(x1−x0)(x1−0)+(y1−y0)(y1−0)=0，

即x21−x0x1+y21−y0y1=0，

因为x21+y21=r2，

所以x0x1+y0y1=r2，

同理x0x2+y0y2=r2.

所以过点A,B的直线方程为xx0+yy0=r2.

因直线AB过点(a,b).

所以代入得ax0+by0=r2，

所以点Q的轨迹方程为：ax+by=r2.

结合题意可知，点的轨迹方程为.

点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：

(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；

(2)定义法：根据圆的定义写出方程；

(3)几何法：利用圆的性质列方程；

(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．