Question

已知数列中， ，设 ，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________

Answer

【解析】∵， （， ），当时， ， ，…， ，并项相加，得： ，
∴，又∵当时， 也满足上式，
∴数列的通项公式为，∴
，令（），

则，∵当时， 恒成立，∴在上是增函数，
故当时， ，即当时， ，对任意的正整数，

当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.

点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.