Question

已知分别是椭圆的左，右焦点， 分别是椭圆的上顶点和右顶点，且，离心率 .

   （Ⅰ）求椭圆的方程；

   （Ⅱ）设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用所给条件，列出关于的方程组，解方程组可得值；（Ⅱ）可设出过焦点的直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系，可用表示三角形的面积，可用不等式的知识求得最小值．

试题解析：（Ⅰ）依题意得 ，

解得， 故所求椭圆方程为

（Ⅱ）由（1）知，设， 的方程为，代入椭圆的方程，

整理得， ，

，

令，

，

当且仅当时上式取等号. 的最小值为。

点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.