Question

选修4－4：坐标系与参数方程：

   在平面直角坐标系中，以为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线的极坐标 

   方程为，曲线的极坐标方程为： ，将曲线上所有

   点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，点，求的值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用平面直角坐标系与极坐标系的转化关系，写出曲线的直角坐标方程，再利用坐标平移变换可得结果；（Ⅱ）由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再写出直线的参数方程，代入的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求．

试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，

的直角坐标方程为．

（Ⅱ）由直线的极坐标方程： ，得

所以直线的直角坐标方程为: ，又点在直线上，

所以直线的参数方程为： ，

代入的直角坐标方程得，

设A，B对应的参数分别为，

， ．

点睛：本题主要考查平面直角坐标系与极坐标系下的方程间的联系与转化,及参数方程.关于曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化,一般来说直接代入公式, ,,但某些时侯也要做些变化,例如将等式两比同乘以(除以) ,将等式两边同时平方等.如果要判断曲线的形状,一般将方程转化为直角坐标方程再进行判断.直线参数方程标准式中的几何意义也非常重要,要能够理解.