Question

已知双曲线的右顶点为A，抛物线的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P使得，则E的离心率的取值范围是

A.     B.     C.     D.

Answer

B

【解析】双曲线 的右顶点为A(a,0)，

抛物线:y2=8ax的焦点为(2a,0)，

双曲线的渐近线方程为 ，可设 ，

即有 ，

由PA⊥FP,即为 ，

即为 ，

化为 ，

由题意可得 ，

即有a2⩾8b2=8(c2−a2)，

即8c2⩽9a2，

则 .

由e>1,可得 .

本题选择B选项.

点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式e＝ ；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．