Question

设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．若，则面积的最大值为_____________．

Answer

【解析】由题意结合正弦定理,得 .

又∵△ABC中,sinB=sin(π−B)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

∴sinAcosC− sinC=sinAcosC+cosAsinC，

化简得− sinC=cosAsinC,结合sinC>0可得cosA=−

∵A∈(0,π),∴ ；

若 ,由余弦定理可得，

即bc⩽4，当且仅当b=c=2时，取等号，故bc的最大值为4，

故△ABC面积为 .

点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．