Question

如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B,左右焦点分别为、,,（1）求椭圆E的标准方程；

（2）直线交椭圆于C、D两点，与线段及椭圆短轴分别交于两点（不重合）,且.求的值；

（3）在（2）的条件下，若，设直线的斜率分别为，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：

(1)由题意求得，椭圆方程为 ；

(2)设出C,D两点的坐标，联立直线与椭圆的方程得到关于k的方程，解方程可得；

(3)利用(2)的结论可得，易知，据此可得 .

试题解析：

（1）由，可知

即椭圆方程为

（2）设易知

由消去y整理得：

由 ，

且即可知，即，解得

（3） = = = =

由题知，点M、F1的横坐标,有

易知满足

即，则…

所以

点睛： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．