Question

已知函数 （且， 为自然对数的底数）．

（1）若曲线在点处的切线斜率为0，且有极小值，

求实数的取值范围．

（2）当 时，若不等式： 在区间内恒成立，求实数的最大值．

Answer

（Ⅰ）（﹣∞，0）; （Ⅱ）1+e

【解析】试题分析：

(1)首先求解导函数，结合导函数与原函数的关系可得实数a的取值范围为（﹣∞，0）；

(2)不等式等价于xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，构造新函数h（x）=lnx+ex﹣m（x﹣1） ，结合题意讨论新函数的性质可得实数的最大值为1+e.

试题解析：

（Ⅰ） ，

∵f′（e）=0，∴b=0，则

当a＞0时，f′（x）在（0，e）内大于0，在（e，+∞）内小于0，

∴f（x）在（0，e）内为增函数，在（e，+∞）内为减函数，即f（x）有极大值而无极小值；

当a＜0时，f（x）在（0，e）内为减函数，在（e，+∞）内为增函数，

即f（x）有极小值而无极大值．

∴a＜0，即实数a的取值范围为（﹣∞，0）；

（Ⅱ）xf（x）＞e+m（x﹣1）xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，

当 a=1，b=﹣1 时，设h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+ex﹣m（x﹣1）．

则h′（x）= ．

令t（x）=h′（x）= ．

∵x＞1，∴t′（x）= ．

∴h′（x）在（1，+∞）内单调递增，

∴当x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．

①当1+e﹣m≥0时，即m≤1+e时，h′（x）＞0，

∴h（x）在区间（1，+∞）内单调递增，

∴当x＞1时，h（x）＞h（1）=e恒成立；

②当1+e﹣m＜0时，即m＞1+e时，h′（x）＜0，

∴存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）=0．∴h（x）在区间（1，x0）内单调递减，

在（x0 ， +∞）内单调递增．由h（x0）＜h（1）=e，

∴h（x）＞e不恒成立．综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，1+e]．

∴实数m的最大值为：1+e．