Question

如图（1），五边形中， .如图（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面．

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与所成角的正切值为，设，求四棱锥的体积.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）要证明面面垂直，一般先证线面垂直，题中已知平面，由于是的中点，只要取的中点，可证，从而得平面，因此就得到面面垂直；

（2）由（1）的垂直可证是等边三角形，因此有，再得，于是有平面，可得，这样可求得图形中各线段长，可得四棱锥的底面积和高，得体积．

试题解析：

（1）证明：取的中点，连接，则，

又，所以，

则四边形为平行四边形，所以，

又平面，

∴平面，

∴平面平面PCD；

（2）取的中点，连接，

因为平面，

∴.

由即及为的中点，可得为等边三角形，

∴，

又，∴，∴，

∴平面平面，

∴平面平面.

所以

所以.

，∴为直线与所成的角，

由（1）可得，∴，∴，

由，可知，

则.

其他方法酌情给分