Question

在平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于， 两点（， 不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且.直线与轴、轴分别交于两点.设直线的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由离心率可得，由对称性直线被椭圆截得弦长为可求得点坐标为，代入椭圆方程可求得得椭圆标准方程；

（Ⅱ）直线与椭圆相交，设， ，有，由直线垂直得直线的斜率为.为了简便设直线的方程为，代入椭圆方程消元得的一元二次方程．可得，于是有，而，于是写出直线方程，求出点坐标，可得，比较可得．

试题解析：

（Ⅰ）∵，∴，，∴.①

设直线与椭圆交于，两点，不妨设点为第一象限内的交点.∴，

∴代入椭圆方程可得.②

由①②知，，所以椭圆的方程为：.

（Ⅱ）设，则，

直线的斜率为，又，

故直线的斜率为.设直线的方程为，

由题知，联立，得.

∴，，由题意知，

∴，直线的方程为.

令，得，即，可得，∴，即.

因此存在常数使得结论成立.

点睛：解析几何中直线与圆锥曲线相交问题，往往采用“设而不求”的思想求解，即设交点坐标，设出直线方程并与圆锥曲线方程联立方程组，消元后可得，再表示出题中要证（或求）的几何量，并把代入化简变形，注意要按部就班地计算题中的几何量（如求出直线方程，求出交点坐标，得出直线斜率等）．