Question

中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且．

（1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；

（2）若是射线上不同两点，，过点的直线与交于，直线与交于另一点．证明：是等腰三角形．

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.

试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.

依题意得.

由，得，

因为故，

所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），

所以的轨迹方程为.

设，依题意，

所以，即，

代入的轨迹方程得，，

所以点的轨迹的方程为.

（2）设.

由题意得直线不与坐标轴平行，

因为，所以直线为，

与联立得，

，

由韦达定理，

同理，

所以或，

当时，轴，

当时，由，得，

同理，轴.

因此，故是等腰三角形.

解法二：

（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.

依题意得.

在轴上取，

因为点在线段上，且，

所以，

则，

故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），

所以点的轨迹的方程为.

（2）设，，

由题意得，直线斜率不为0，且，

故设直线的方程为：，其中，

与椭圆方程联立得，，

由韦达定理可知，，

其中，

因为满足椭圆方程，故有，

所以.

设直线的方程为：，其中，

同理，

故

，

所以，即轴，

因此，故是等腰三角形.