Question

已知函数， ，曲线的图象在点处的切线方程为.

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求证： ；

（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：

(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.

(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.

(3)分离系数，构造新函数， ，结合新函数的性质可得实数的取值范围为.

试题解析：

（1）根据题意，得，则.

由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，

故.

（2）令.

由，得，

当， ， 单调递减；

当， ， 单调递增.

所以，所以.

（3）对任意的恒成立等价于对任意的恒成立.

令， ，得 .

由（2）可知，当时， 恒成立，

令，得；令，得.

所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以.

所以实数的取值范围为.