Question

已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ，则对任意，函数的零点个数至多有（   ）

A. 3个    B. 4个    C. 6个    D. 9个

Answer

A

【解析】当时,由此可知在上单调递减，在上单调递增， , 且,数是定义在上的奇函数， ，而时， ,所以的图象如图，令,则，由图可知，当时方程至多3个根，当时方程没有根，而对任意， 至多有一个根，从而函数的零点个数至多有3个.

点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.