Question

已知函数．()

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】【试题分析】（1）运用导数与函数单调性之间的关系进行分析求解；（2）先将不等式进行等价转化再运用导数知识与分类整合思想分析求【解析】

【解析】
（Ⅰ）定义域是， ．

令．

当，即时， 恒成立，即，所以的单调增区间为；

当时，即或时，方程有两个不等的实根，

， ．

若，由， 得， ，所以在成立，

即，所以的单调增区间为；

若，由， 得， ，

由得的范围是，由得的范围，

即的单调递增区间为， 的单调递减区间为．

综上所述，当时， 的单调递增区间为

， ，

的单调递减区间为；

当时， 的单调递增区间为，无递减区间．

（Ⅱ）由，得，

即，即，即．

由（Ⅰ）可知当时， 的单调递增区间为，又，

所以当时， ，当时， ；

又当时， ，当时， ；

所以，即原不等式成立．

由（Ⅰ）可知当时， 在单调递增，在单调递减，

且，得， ，

而，所以与条件矛盾．

综上所述， 的取值范围是．