Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面

底面，且， 、分别为、的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求证：面平面；

（3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？说明理由.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）线段上存在点，使得二面角的余弦值为.

【解析】试题分析：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；

（Ⅱ）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．

（Ⅲ）假设在线段AB上，存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为，然后以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论．

试题解析：

（Ⅰ）证明：连结AC，由已知，F为AC的中点， 为中点．∴在中， //

且平面， 平面∴

（Ⅱ）证明：因为平面平面， 平面面

为正方形， ， 平面

所以平面．

∴

又，所以是等腰直角三角形， 且，即．

，且、面

面

又面， ∴面面

（Ⅲ）如图，

取的中点，连结， ．

∵，∴．

∵侧面底面，

，

∴，

而分别为的中点，

∴，又是正方形，故．

∵，∴， ．

以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则有， ， ．

若在上存在点使得二面角的余弦值为，连结

设．

由（Ⅱ）知平面的法向量为．

设平面的法向量为．∵，

∴由可得，令，则，

故∴，解得， ． 所以在线段上存在点，使得二面角的余弦值为，此时．

考点：1．平面与平面垂直的判定；2．直线与平面平行的判定；3．二面角的平面角及求法．