Question

设是正项数列的前项和，且.

（Ⅰ）求数列通项公式；

（Ⅱ）是否存在等比数列，使对一切正整数都成立？并证明你的结论.

（Ⅲ）设（），且数列的前项和为，试比较与的大小.

Answer

（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：由的表达式求通项公式，利用时， ，转化为关于的关系式，把一般数列转化为特殊数列，求出通项公式；对于同样的办法求出，借助求出，并证明.求出，利用错位相加法求出前项和并比较大小.

试题解析：（Ⅰ）由

得，

相减并整理得

又由于，

则，故是等差数列．

因为 ，

所以

故．

（Ⅱ）当，2时， ， ，

可解得， ，

猜想 使 成立．

证明： 恒成立．

令 ……①

……②

②﹣①得：

，

故存在等比数列符合题意．

（Ⅲ）

则

故．

【点睛】通过由的表达式求通项公式，利用时， ，转化为关于的关系式，把一般数列转化为特殊数列，求出通项公式；这个关系式在解决数列问题时，使用机会偏多.