Question

求过椭圆内一点的弦的中点的轨迹方程.

Answer

（在椭圆内）

【解析】“弦中点”或“中点弦”问题，常利用“设而不求，代点相减”的方法去解决，这就是我们常说的“点差法”，利用点差法解题要首先设出点的坐标，由于点在曲线上，满足曲线方程，然后两式相减，利用平方差公式，得出斜率， ，结合弦中点的坐标解题.

试题解析：设点， ， .

则，∴，

当时，弦斜率存在记为，则，

与联立消去，得，

当时， 满足上式，

综上点的轨迹方程是（在椭圆内）

注：本题因为点的轨迹全部都在椭圆内，故“在椭圆内”可不写.

【点睛】本题为弦中点问题，利用“点差法”可以有效的解决弦中点问题，在解析几何里，必须掌握八个字：“设而不求、带点相减”，这里的“设而不求”说的就是要设出点 的坐标，不是求出坐标，而是利用坐标法解题，这里的“带点相减”说的就是“点差法”.