Question

平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作一直线与椭圆交于两点，过点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为，试问直线与的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer

（1）（2）直线与过定点.

【解析】试题分析：（1）由离心率得，由椭圆过点得，解方程组可得（2）先根据对称性得定点必在x轴上，再利用特殊位置确定定点为.最后证明直线与皆过定点.

试题解析：解（1）由题意得，所以椭圆的标准方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时，准线与的交点是；

②当直线的斜率存在时，设，直线为，

由，

所以， ，

所以 ，

联立解得，

代入上式可得，

综上，直线与过定点.

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.