Question

设是各项均不相等的数列， 为它的前项和，满足.

（1）若，且成等差数列，求的值；

（2）若的各项均不相等，问当且仅当为何值时， 成等差数列？试说明理由.

Answer

（1）（2）当且仅当时， 成等差数列

【解析】试题分析：（1）根据解出（用表示），再根据成等差数列，得，代入解出的值；（2）先研究 成等差数列时为何值，同（1）根据解出， （用表示），再根据成等差数列解出的值；再证明时， 成等差数列，实际上求出这个关系式.

试题解析：【解析】
（1）令，得，

又由成等差数列，所以，

解得.

（2）当且仅当时， 成等差数列，

证明如下：

由已知，当时， ，

两式相减得，即，

由于个各项均不相等，所以，

当时，所以

两式相减可得，

①当，得，当时，所以，

，所以，

故成等差数列.

②再证当成等差数列时， ，

因为成等差数列，

所以，可得，

所以，

所以当且仅当时， 成等差数列.