Question

如图，三棱柱中， 平面， ， 是上的动点， .

（Ⅰ）若点是中点，证明：平面平面；

（Ⅱ）判断点到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题解析：按照判定定理证明面面垂直只需在一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，观察图形看到就是最佳“人”选；第二步求点到平面的距离，由于有现成的垂面，可以直接向交线引垂线，直接得出线面垂直，利用三角形等面积法求出距离.

试题解析：（Ⅰ）证明： ， 是中点， .

平面， 平面， .

平面， 平面，且

平面.

平面， 平面平面.

（Ⅱ）,平面， 平面，

平面.

点到平面的距离是定值.

令点平分，作的中点，连结， ， ，过作，

垂足为，显然、、、共面.

平面， ， 平面.

平面， .又， 平面， 平面， 平面，即为所求.

， ， .

..

， .

点到平面的距离.

【点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；先利用线面平行说明点面距为定值，计算点面距时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点到平面的距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出.